Funciones acotadas?

En Matemáticas, dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática denotada

que cumple con las siguientes dos condiciones:

Todos los elementos de X están relacionado con elementos de Y, es decir,

Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si

Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de

Para toda función podemos definir:

Dominio [editar]El dominio de es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien y está definido por:

Codominio [editar]El codominio o conjunto de llegada de es el conjunto y se denota o bien

Imagen [editar]La imagen, recorrido o rango de está formada por los valores que alcanza la misma. Es el conjunto de todos los objetos transformados, se denota o bien y está definida por:

Origen [editar]Un origen de un es algún tal que

Note que , y que algunos elementos del codominio pueden no ser imagen de ningún elemento del dominio.

En efecto, puede darse que tal que

Ejemplos [editar]

Función con Dominio X y Codominio YEn la figura se puede apreciar una función , con

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,

Esta función representada como relación, queda

Representación de funciones [editar]Las funciones se pueden representar de distintas maneras:

Como expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x), que permiten representar el comportamiento de la función a lo largo de todo su dominio.

Ejemplo: y=x+2.

Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.

Ejemplo:

X| -2 -1 0 1 2 3

Y| 0 1 2 3 4 5

Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}

Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función.

Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

Como gráfica: gráfica que permite visualizar tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5 X

4 X

3 X

2 X

1 X

0 X

y / x -2 -1 0 1 2 3

Funciones según tipo de aplicación [editar]Dados dos conjuntos X e Y, podemos clasificar a todas las funciones definidas entre ellos, en:

Función inyectiva [editar]Aquellas en que a cada imagen le corresponde un único origen. Formalmente,

o lo que es lo mismo,

Función sobreyectiva [editar]Aquellas en que la aplicación es sobre todo el codominio, es decir, cuando el conjunto imagen . Esto significa que todo elemento del codominio tiene un origen. Formalmente,

Función biyectiva [editar]Aquellas que son al mismo tiempo inyectivas y sobreyectivas. Formalmente,

Sobreyectiva, no inyectiva

Inyectiva, no sobreyectiva

Biyectiva

No sobreyectiva, no inyectiva

La función definida por , tiene como dominio e imagen todos los números reales

Para la función , en cambio, si bien su dominio es , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.

Funciones según su número de variables [editar]